0.1+0.2为何不精确？_全球短讯
嗨！昨天我试着写点关于浮点数的东西，我发现自己对这个 64 位浮点数的计算方法很好奇：
>>> 0.1 + 0.20.30000000000000004
我意识到我并没有完全理解它是如何计算的。我的意思是，我知道浮点计算是不精确的，你不能精确地用二进制表示0.1，但是：肯定有一个浮点数比0.30000000000000004更接近 0.3！那为什么答案是0.30000000000000004呢？
(相关资料图)
如果你不想阅读一大堆计算过程，那么简短的答案是：0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 + 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125正好位于两个浮点数之间，即0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875（通常打印为0.3） 和0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125（通常打印为0.30000000000000004）。答案是0.30000000000000004，因为它的尾数是偶数。
浮点加法是如何计算的
以下是浮点加法的简要计算原理：
◈把它们精确的数字加在一起 ◈将结果四舍五入到最接近的浮点数让我们用这些规则来计算 0.1 + 0.2。我昨天才刚了解浮点加法的计算原理，所以在这篇文章中我可能犯了一些错误，但最终我得到了期望的答案。
第一步：0.1 和 0.2 到底是多少
首先，让我们用 Python 计算0.1和0.2的 64 位浮点值。
>>> f\"{0.1:.80f}\""0.10000000000000000555111512312578270211815834045410156250000000000000000000000000">>> f\"{0.2:.80f}\""0.20000000000000001110223024625156540423631668090820312500000000000000000000000000"
这确实很精确：因为浮点数是二进制的，你也可以使用十进制来精确的表示。但有时你只是需要一大堆数字:)
第二步：相加
接下来，把它们加起来。我们可以将小数部分作为整数加起来得到确切的答案：
>>> 1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 + 20000000000000001110223024625156540423631668090820312503000000000000000166533453693773481063544750213623046875
所以这两个浮点数的和是0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875。
但这并不是最终答案，因为它不是一个 64 位浮点数。
第三步：查找最接近的浮点数
现在，让我们看看接近0.3的浮点数。下面是最接近0.3的浮点数（它通常写为0.3，尽管它不是确切值）：
>>> f\"{0.3:.80f}\""0.29999999999999998889776975374843459576368331909179687500000000000000000000000000"
我们可以通过struct.pack将0.3序列化为 8 字节来计算出它之后的下一个浮点数，加上 1，然后使用struct.unpack：
>>> struct.pack(\"!d\", 0.3)b"?Ó333333"# 手动加 1>>> next_float = struct.unpack(\"!d\", b"?Ó333334")[0]>>> next_float0.30000000000000004>>> f\"{next_float:.80f}\""0.30000000000000004440892098500626161694526672363281250000000000000000000000000000"
当然，你也可以用math.nextafter：
>>> math.nextafter(0.3, math.inf)0.30000000000000004
所以0.3附近的两个 64 位浮点数是0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875和0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125。
第四步：找出哪一个最接近
结果证明0.3000000000000000166533453693773481063544750213623046875正好在0.299999999999999988897769753748434595763683319091796875和0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125的中间。
你可以通过以下计算看到：
>>> (3000000000000000444089209850062616169452667236328125000 + 2999999999999999888977697537484345957636833190917968750) // 2 == 3000000000000000166533453693773481063544750213623046875True
所以它们都不是最接近的。
如何知道四舍五入到哪一个？
在浮点数的二进制表示中，有一个数字称为“尾数”。这种情况下（结果正好在两个连续的浮点数之间），它将四舍五入到偶数尾数的那个。
在本例中为0.300000000000000044408920985006261616945266723632812500。
我们之前就见到了这个数字的尾数：
◈0.30000000000000004 是struct.unpack("!d", b"?Ó333334")的结果 ◈0.3 是 struct.unpack("!d", b"?Ó333333")的结果 0.30000000000000004的大端十六进制表示的最后一位数字是4，它的尾数是偶数（因为尾数在末尾）。
我们用二进制来算一下
之前我们都是使用十进制来计算的，这样读起来更直观。但是计算机并不会使用十进制，而是用 2 进制，所以我想知道它是如何计算的。
我不认为本文的二进制计算部分特别清晰，但它写出来对我很有帮助。有很多数字，读起来可能很糟糕。
64 位浮点数如何计算：指数和尾数
64 位浮点数由 2 部分整数构成：指数和尾数，还有 1 比特符号位.
以下是指数和尾数对应于实际数字的方程：
例如，如果指数是1，尾数是2**51，符号位是正的，那么就可以得到：
它等于2 * (1 + 0.5)，即 3。
步骤 1：获取 0.1 和 0.2 的指数和尾数
我用 Python 编写了一些低效的函数来获取正浮点数的指数和尾数:
def get_exponent(f):# 获取前 52 个字节bytestring = struct.pack("!d", f)return int.from_bytes(bytestring, byteorder="big") >> 52def get_significand(f):# 获取后 52 个字节bytestring = struct.pack("!d", f)x = int.from_bytes(bytestring, byteorder="big")exponent = get_exponent(f)return x ^ (exponent << 52)
我忽略了符号位（第一位），因为我们只需要处理 0.1 和 0.2，它们都是正数。
首先，让我们获取 0.1 的指数和尾数。我们需要减去 1023 来得到实际的指数，因为浮点运算就是这么计算的。
>>> get_exponent(0.1) - 1023-4>>> get_significand(0.1)2702159776422298
它们根据2**指数 + 尾数 / 2**(52 - 指数)这个公式得到0.1。
下面是 Python 中的计算:
>>> 2**-4 + 2702159776422298 / 2**(52 + 4)0.1
（你可能会担心这种计算的浮点精度问题，但在本例中，我很确定它没问题。因为根据定义，这些数字没有精度问题 -- 从2**-4开始的浮点数以1/2**(52 + 4)步长递增。）
0.2也一样:
>>> get_exponent(0.2) - 1023-3>>> get_significand(0.2)2702159776422298
它们共同工作得到0.2:
>>> 2**-3 + 2702159776422298 / 2**(52 + 3)0.2
（顺便说一下，0.1 和 0.2 具有相同的尾数并不是巧合 —— 因为x和2*x总是有相同的尾数。）
步骤 2：重新计算 0.1 以获得更大的指数
0.2的指数比0.1大 -- -3 大于 -4。
所以我们需要重新计算：
2**-4 + 2702159776422298 / 2**(52 + 4)等于X / 2**(52 + 3)
如果我们解出2**-4 + 2702159776422298 / 2**(52 + 4) = X / 2**(52 + 3)，我们能得到：
X = 2**51 + 2702159776422298 /2
在 Python 中，我们很容易得到：
>>> 2**51 + 2702159776422298 //23602879701896397
步骤 3：添加符号位
现在我们试着做加法：
2**-3 + 2702159776422298 / 2**(52 + 3) + 3602879701896397 / 2**(52 + 3)我们需要将2702159776422298和3602879701896397相加：
>>> 2702159776422298 + 36028797018963976305039478318695
棒。但是6305039478318695比2**52-1（尾数的最大值）大，问题来了:
>>> 6305039478318695 > 2**52True
第四步：增加指数
目前结果是：
2**-3 + 6305039478318695 / 2**(52 + 3)首先，它减去 2**52：
2**-2 + 1801439850948199 / 2**(52 + 3)完美，但最后的2**(52 + 3)需要改为2**(52 + 2)。
我们需要将1801439850948199除以 2。这就是难题的地方 --1801439850948199是一个奇数!
>>> 1801439850948199 / 2900719925474099.5
它正好在两个整数之间，所以我们四舍五入到最接近它的偶数（这是浮点运算规范要求的），所以最终的浮点结果是:
>>> 2**-2 + 900719925474100 / 2**(52 + 2)0.30000000000000004
它就是我们预期的结果：
>>> 0.1 + 0.20.30000000000000004
在硬件中它可能并不是这样工作的
在硬件中做浮点数加法，以上操作方式可能并不完全一模一样（例如，它并不是求解 “X”），我相信有很多有效的技巧，但我认为思想是类似的。
打印浮点数是非常奇怪的
我们之前说过，浮点数 0.3 不等于 0.3。它实际上是:
>>> f\"{0.3:.80f}\""0.29999999999999998889776975374843459576368331909179687500000000000000000000000000"
但是当你打印它时，为什么会显示0.3？
计算机实际上并没有打印出数字的精确值，而是打印出了最短的十进制数d，其中f是最接近d的浮点数。
事实证明，有效做到这一点很不简单，有很多关于它的学术论文，比如、等。
如果计算机打印出浮点数的精确值，会不会更直观一些？
四舍五入到一个干净的十进制值很好，但在某种程度上，我觉得如果计算机只打印一个浮点数的精确值可能会更直观 -- 当你得到一个奇怪的结果时，它可能会让你看起来不那么惊讶。
对我来说，0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 + 0.200000000000000011102230246251565404236316680908203125 = 0.3000000000000000444089209850062616169452667236328125比0.1 + 0.2 = 0.30000000000000000004惊讶少一点。
这也许是一个坏主意，因为它肯定会占用大量的屏幕空间。
PHP 快速说明
有人在评论中指出在 PHP 中会输出0.3，这是否说明在 PHP 中浮点运算不一样？
非也 —— 我在运行:
，得到了与 Python 完全相同的答案：5.5511151231258E-17。因此，浮点运算的基本原理是一样的。
我认为在 PHP 中0.1 + 0.2输出0.3的原因是 PHP 显示浮点数的算法没有 Python 精确 —— 即使这个数字不是最接近 0.3 的浮点数，它也会显示0.3。
总结
我有点怀疑是否有人能耐心完成以上所有些算术，但它写出来对我很有帮助，所以我还是发表了这篇文章，希望它能有所帮助。
（题图：MJ/53e9a241-14c6-4dc7-87d0-f9801cd2d7ab）
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作者：选题：译者：校对：
本文由原创编译，荣誉推出
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